cours pourcentages
On utilise les pourcentages dans deux situations différentes.
Soit pour exprimer le rapport d’une partie à un tout :
Exemple : 60 % des élèves de la classe habitent à Sens.
Soit pour exprimer une évolution :
Exemple : Cette année, il y a 10 % d’élèves en plus dans la classe par rapport à l’an dernier.
1) Définition
Soit E un ensemble et A une partie de E.
La part en pourcentage de A dans E est t% signifie que, si l’effectif de l’ensemble E est ramené à une valeur de 100, alors l’effectif de la partie A vaut t. On a l’égalité : =
Exemple :
Dans un ensemble de 35 personnes, 14 sont anglaises.
Tableau de proportionnalité :
|
| Quantité | Ramenée à 100 |
| Partie : les anglais | 14 |
|
| Total : l’ensemble | 35 | 100 |
La part d’anglais est donc :
en pourcentage : 40 %
en fraction =
en écriture décimale : 0,4
Remarques :
Une part s’exprime en pourcentage (le plus souvent), en fraction ou en écriture décimale.
Comme la partie est plus petite que le total, une part est toujours inférieure à 1 ou à 100%.
2) Trois exemples types
Dans un bus de 68 passagers, il y a 56% de filles. Quel est le nombre, noté f, de filles ?
|
| Quantité | Ramenée à 100 |
| Partie : les filles | f ? | 56 |
| Total : les passagers | 68 | 100 |
= donc f = = 38
Il y a 38 filles dans ce bus.
56 % de 68 signifie : 68 = 0,56 68 = 38
Dans une classe, il y a 15 garçons et ils représentent 60% des élèves. Quel est le nombre n d’élèves dans cette classe ?
|
| Quantité | Ramenée à 100 |
| Partie : les garçons | 15 | 60 |
| Total : les élèves | n ? | 100 |
= donc n = = 25 Il y a 25 élèves dans la classe.
Il y a 35 élèves dans une classe dont 19 filles. Quel est le pourcentage de filles parmi les élèves de la classe ?
|
| Quantité | Ramenée à 100 |
| Partie : les filles | 19 | t ? |
| Total : la classe | 35 | 100 |
= donc t = 19 0,5429 soit 54,29 %
Donc le pourcentage de filles dans la classe, à 0,1 % près, est 54,3 %.
3) Pourcentage de pourcentage
Théorie
Soit E l’ensemble de référence, A une partie de E et B une partie de A.
Si la part en pourcentage de A dans E est x % et la part en pourcentage
de B dans A est de y % alors la part en pourcentage de B dans E est
y % de x % que l’on calcule en faisant une multiplication.
Remarque : Dans les calculs , utiliser l’écriture décimale des pourcentages.
Exemple :
Dans un certain collège, 63% des élèves viennent à pied et 21 % des élèves venant à pied sont en sixième. Quel pourcentage des élèves du collège représentent les élèves de sixième venant à pied ?
On prend 21 % de 63 % des élèves :
= 0,21 0,63 = 0,1323
Les sixièmes venant à pied représentent donc 13,23% des élèves du collèges .
A 1 % près, la réponse est 13 %.
1) Coefficient multiplicatif
Lorsqu’une quantité passe de la valeur A à la valeur A’, on appelle coefficient multiplicatif le nombre souvent désigné par CM.
Si A est augmenté de t % alors A’ = A + A = A ( 1 + ) donc CM= 1 +
Si A est diminué de t % alors A’ = A – A = A ( 1 – ) donc CM= 1 –
Conclusion :
Augmenté A de t % c’est multiplier A par CM = 1 +
Diminuer A de t % c’est multiplier A par CM = 1 –
Exemples :
Un vêtement coûte 150 € et augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix ?
CM = 1 + = 1 + 0,20 = 1,20 donc le nouveau prix est de 150 1,20 = 180 €
Pour les soldes, le vendeur accorde 20 % de remise. Quel est son nouveau prix ?
CM = 1 – = 1 – 0,20 = 0,8. Le nouveau prix est de 180 0,8 = 144 €
2) Calculer un pourcentage d’évolution
Connaissant la valeur initiale et la valeur finale d’une quantité, on déduit que
CM = , et on déduit le pourcentage d’évolution.
Si CM > 1, il s’agit d’une augmentation et l’écriture décimale du pourcentage d’augmentation est CM – 1.
Si CM < 1, il s’agit d’une diminution et l’écriture décimale du pourcentage de diminution est CM – 1.
Exemple :
Si valeur initiale = 160 et valeur finale = 200 alors CM = = 1,25.
1,25 – 1 = 0,25 ; On en déduit que le pourcentage d’augmentation est de 25 %.
Si valeur initiale = 180 et valeur finale = 150 alors CM = 0,833.
1 – 0,833 = 0,167 ; On en déduit que le pourcentage de diminution est d’environ 16,7 %.